「線性代數 Linear Algebra」學習筆記 - 1.1 Systems of Linear Equations

1. Linear Equation & Linear System
所謂具有 n 個未知數的 Linear Equation(線性等式)就是指符合下列形式的等式

 若有 m 個等式，n 個未知數的話，就稱為 m x n 的 Linear System(線性系統)
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2. Equivalent
如果兩個 linear system 具有相同數目的未知數，並且有相同的解(必須是一樣的集合)。那我們說這兩個 system Equivalent(相等)。

EX 1:
(a)

(b)

(a), (b) 兩個 system 為 equivalent

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3. Strict Triangular Form
如果在一個 system 中，第 k 個等式的前 k - 1 個變數的係數都是 0，而第 k 個變數的係數不為 0。那就稱這個形式為 strict triangular form。
基本上這個 system 看起來類似倒三角形，如 EX2。

EX 2:

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4. Back Substitution
如果一個 system 為 strict triangular form，那麼可以藉由 back substitution 的方式計算 system 的解。計算方法為：從 system 最後一個等式開始計算，取得了 Xn 的解之後，再往上依序代入第 n - 1、n - 2、n - 3.... 的等式取得 Xn-1、Xn-2、Xn-3 .... X1 的解。

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5. Elementary Row Operations(列運算)
以下三種計算方式不會影響到 system 本身的解。所有藉由這個方式衍生的 system 都跟原來的 system equivalent。

(1) 將兩列(等式)互相交換
(2) 將某一列(等式)乘上一個常數
(3) 將某列(等式)替換為自己與另一列(等式)的總合

這三種方法通常是用來取得 strict triangular form 而使用的

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6. Coefficient Matrix & Augmented Matrix
為了方便計算，我們可以將 system 依照變數的順序將係數寫成一個矩陣，這個矩陣稱之為 Coefficient Matrix(係數矩陣) of System。
如果將等式右邊的值也寫入矩陣的最右側，並且使用直線分開的話。稱之為 Augmented Matrix。
例如 EX3、4

EX 3:
這是個 2 x 2 的 system

 其 Coefficient Matrix 為：

Augmented Matrix 為：

EX 4:
這是個 3 x 3 的 system

 其 Coefficient Matrix 為：

Augmented Matrix 為：

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7. Pivotal Row
在使用  Elementary Row Operations 計算 Strict Triangular Form 時，用來將其他列最前端係數不是零的變數消去的那列稱之為 Pivotal Row。

EX 5:

此時第一列可以用來與其他列相減，以將第一個變數的係數減為 0。因此第一行此時為 Pivotal Row。而 Pivotal Row 的第一個非零元素稱為 Pivot。