「線性代數 Linear Algebra」學習筆記 - 1.2 Row Echelon Form

1. Inconsistent
一般來說，並不是所有的 system 都可以轉換為 Strict Triangular Form。如果無法轉換的話，那就可能是以下兩種情況：



(1)無解
EX1:

使用Row Operation(列運算)化簡後

可以發現最後兩列根本不可能成立，所以無解

(2)無限多組解
EX2:
將 EX1 的右側下面兩個數字修改一下

使用Row Operation(列運算)化簡後

可以發現 X2、X4 隨便取一個數字，對於每個 X2、X4 的數字來說，X1、X3、X5 都會有一組解。因為只要符合前三列的等式即可，所以有無限多組解。
這些在化簡後都不是任一行第一個有非零係數的變數，像是 EX2 的 X2、X4 這些變數，稱之為 Free Variables。

---------------------------------------------------------------------------

2. Row Echelon Form 
一個 Linear System 的矩陣只要符合下列三個條件，我們就說該矩陣符合 Row Echelon Form ：

(1) 每一列的第一個非零元素的值皆為 1
(2) 假設某一列(假設為第 k 列)並不是所有元素皆為零，那麼它的下一列(如果有的話，稱為 k + 1 列)的零的數目會多於這一列(第 k 列)的零的數目。
(3) 如果有所有元素皆為零的列，那麼這些列必須要在那些有非零元素的列的後面(也就是要在最後面)。

EX3:
以下的矩陣都是 Row Echelon Form

使用 Row Operation(列運算) 取得 Row Echelon Form 的計算過程稱之為 Gaussian elimination(高斯消去法)。

---------------------------------------------------------------------------

3. Reduced Row Echelon Form
如果某個矩陣符合 Row Echelon Form，而且每一列的第一個非零元素是該行(Column，直的稱為行)中唯一一個非零元素的話，我們就稱之為 Reduced Row Echelon Form。
EX4：
原形  ->  Row Echelon Form  ->  Reduced Row Echelon Form

---------------------------------------------------------------------------

4. Overdetermined & Underdetermined Systems
Overdetermined 就是指等式的數目比未知數還要多的 system，通常這種情況下會是無解(但也有可能有解)。
Underdetermined 就是指等式的數目比未知數還要少的 system，通常這種情況下會有無限多組解(也有可能無解)，但是不可能只有一組解。

EX5:
Overdetermined 且無解的例子

EX6:
Overdetermined 且無限多組的例子

EX7:
Underdetermined 且無解的例子

EX8:
Underdetermined 且無限多組的例子

---------------------------------------------------------------------------

5. Homogeneous Systems
如果某個 linear system 右邊的數字皆為零的話，就稱之為 Homogeneous Systems。EX4 就是一個 Homogeneous System 的例子。
要注意的是，這種 system 必定是有解的。而且如果有單一解的話，必定是 (0, 0, 0,.... 0) 的組合。